Photoshopのアートボード書き出しは、書き出したい「アートボード」のグループを右クリックし、書き出し形式を選択します。

または以下のように操作してもアートボードが書き出せます。

ファイル→書き出し→書き出し形式

デフォルトでは「すべてを選択」のチェックボックスにチェックが付き、全てのアートボードを書き出す設定になっています。このチェックを外し、書き出したいアートボードのみ選択して書き出すこともできます。

注意点として、アートボードに背景色が設定されている場合は上記2パターンのようにアートボードのグループから書き出す必要があります。レイヤー単位で書き出すとアートボード背景色が反映されません。